モンティホール問題とは

モンティホール問題とは、かつて多くの人々を悩ませ、

 

そして今後も悩ませ続けるであろう確率の問題です。

 

まずは、実際にモンティホール問題を解いてみてください。

 

 

・モンティホールの問題

プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、

 

2つのドアの後ろには、ハズレを意味するヤギがいる。

 

プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。

 

 

プレーヤーが1つのドアを選択した後、

 

司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。

 

ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。

 

プレーヤーはドアを変更すべきだろうか?

 

※以下、議論を簡単にするために、後ろに新車があるドアを「アタリのドア」、後ろにヤギがいるドアを「ハズレのドア」と表現します。

 

 

 

 

正解は、「ドアを変更してもしなくても変わらない」

 

 

 

 

というのは間違いで、

 

「ドアを変更すべき。アタリになる確率が元の2倍になるから」

 

が正解です。

 

 

 

 

アメリカで歴史上まれに見る大きな論争を巻き起こした確率の問題です。

 

博士号を取得した数学者ですら、間違ってしまった問題です。

 

このモンティホール問題について、

 

その解説と、

 

なぜ多くの人が間違ってしまったのか、

 

なぜ論理的に説明した上でなお、納得できない人が後を絶たないのか、

 

などの考察を行っていきたいと思います。

モンティホール問題 解説

それでは、モンティホール問題を解説していきます。

 

色々な所で、色々な解説が試みられていますが、

 

本質を理解していない人達が難解な語句を用いて行った、冗長で分かりにくいものばかりですので、

 

私が分かりやすい解説を行いたいと思います。

 

 

・ドアを変えない場合

 

確率は1/3

 

 

・最初に選択したドアがアタリだった場合

 

ドアを変えないなら、必ずアタリなので、

 

1/3×1=1/3

 

です。

 

 

・最初に選択したドアがハズレだった場合

 

ドアを変えないなら、当然ハズレのままなので、

 

2/3×0/1=0

 

 

以上より、ドアを変えない場合の確率は

 

1/3+0=1/3です。

 

 

・ドアを変えた場合

 

確率は2/3です。

 

 

・最初に選択したドアがアタリだった場合

 

最初にアタリを選択する確率は1/3です。

 

ドアを変えたら、必ずハズレのドアを選んでしまうので、

 

1/3×0/1=0

 

 

・最初に選択したドアがハズレだった場合

 

最初にハズレを選択する確率は2/3です。

 

ハズレのドアが開けられたので、ドアを変えたら、必ずアタリのドアになります。

 

2/3×1/1=2/3

 

よって、0+2/3=2/3

 

 

以上より、モンティホールの問題において、ドアを変えたら、

 

確率は1/3→2/3となり、2倍アタリやすくなるので、

 

「ドアを変えた方が良い」が答えとなります。

 

 

 

感覚的に納得しやすくするための有名な方法として、

 

ドアの数を増やす方法があります。

 

以下、これについて解説していきます。

 

ドアが100つあり、初めに一つ選ぶとします。

 

その後、ドアを98つ開け、その全てが「はずれ」でした。

 

開いていないドアは残り二つで、1つはあたり、1つははずれです。

 

初めに選択したドアから変えた方が良いでしょうか?

 

この状況なら、99のドアがハズレだったので、初めに選択したドアもハズレの可能性が極めて高い、

 

と直感的に納得できるのではないでしょうか?

 

 

このドアを増やす方法は、「1つ選んだ後、残りから1つを残して全てドアを開ける」

 

という条件が全く同じです。

 

 

「最初に100つのうちから選んだドア」と、

 

99つのうち、98つを開けるという試練?を乗り越えて、生き残った一つのドア

 

を比較すると、後者の方が明らかにアタリの確率が高いでしょう。 

 

実際に計算してみると、ドアが100つの場合、

 

そのままの場合は確率は1/100

 

ドアを変えた場合は

 

1/100×0/1+99/100×1/1=99/100

 

で、99倍もアタリやすくなります。

モンティホール問題 直感とずれる理由

モンティホール問題が有名になった理由としては、

 

「直感とずれる」ということが挙げられます。

 

多くの人が、解説を訊いたうえでもなお、感覚的に納得できないようです。

 

この直感とずれる理由についても、色々な本やサイトで議論されていますが、

 

どれも冗長なので、本質をついたものを私が簡潔に示したいと思います。

 

 

モンティホール問題が世に出た当時、

 

多かった意見は、

 

1つのドアがハズレと分かったら、残り2つのドアがアタリの確率はそれぞれ1/2だから、

 

変えても変えなくても確率は同じ

 

というものだったそうです。

 

 

しかし、「ハズレのドアの1つが判明する」という新たな情報が与えられた結果、

 

確率は変化します。

 

 

このモンティホール問題が、

 

「モンティがドアを開けた結果、偶然ハズレのドアだった」のなら、

 

確率はドアを変えても、変えなくても、最初に選んだ状態のままから変わりません。

 

しかし、

 

「ハズレのドアがどれか分かった上で、必ずハズレのドアを開ける」

 

から確率が変わるのです。

 

偶然ハズレのドアをモンティが開いたなら、変化はありませんが、

 

モンティは確率に依存せずに100%ハズレのドアを開けることができ、

 

ハズレのドアを確実に減らすことができます。

 

その結果、確率が先述の通り変動するのです。

 

 

このモンティホールの解答が直感とずれる理由は、

 

端的に言うと、

 

「現実世界には存在し得ない、確率に影響を受けず行動できるものの存在」

 

が原因です。

 

 

このモンティホールの問題ほど確率が直感とずれるものはそうありませんが、

 

直感での確率や数値が現実と大きくずれていることは、しばしばあります。

 

ですので、今回のモンティーホールの問題を教訓にして、

 

確率・数値などは、直感のまま使用せず、逐一考える・調べる癖をつけるようにしてください。

 

そういう習慣をつければ、緻密な思考ができるようになってきます。

 

今回のモンティホールの問題で行ったように、

 

「同条件で数値を極端に大きくする・小さくする」ということを行うことで、直感のミスに気付きやすくなるので、

 

こちらも意識して行うようにしてください。

 

間違った確率・数値に基づいて推論を重ねると、とんでもないミスを犯すことにつながります。

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